Primitive Polynomial

定义 Definition

本原多项式（primitive polynomial）：在有限域（如 GF(p)，常见为 GF(2)）上，一个不可约多项式，并且它的任一根在扩域中是本原元（即能生成该扩域的乘法群）。常用于构造 GF(2^m)、设计 LFSR 伪随机序列、CRC 生成多项式等。
（注：在不同教材中表述略有差异，但核心条件是“不可约 + 生成性”。）

发音 Pronunciation

/ˈprɪmɪtɪv ˌpɑːlɪˈnoʊmiəl/

例句 Examples

We need a primitive polynomial over GF(2) to build the field.
我们需要一个在 GF(2) 上的本原多项式来构造该有限域。

In an LFSR design, choosing a primitive polynomial helps produce a maximal-length sequence with good statistical properties.
在 LFSR 设计中，选择本原多项式有助于生成最大长度序列，并具有较好的统计性质。

词源 Etymology

primitive 来自拉丁语 primitivus，意为“最初的、原始的”，在数学里常引申为“能生成整个结构的（生成元意义上的）”；polynomial 由 *poly-*（多）+ -nomial（项/名称，源自 nomen）构成，表示“多项式”。合起来，“primitive polynomial”强调的是：这种多项式与扩域中的“生成性/本原元”直接相关。

相关词 Related Words

• Primitive Element
• Irreducible Polynomial
• Finite Field
• Galois Field
• Minimal Polynomial
• GF(2)
• LFSR
• CRC
• Generator

作品与经典出处 Literary / Notable Works

• Finite Fields（Rudolf Lidl & Harald Niederreiter）——系统讨论有限域与本原多项式的理论与构造
• Shift Register Sequences（Solomon W. Golomb）——移位寄存器序列与本原多项式的应用
• Handbook of Applied Cryptography（Menezes, van Oorschot, Vanstone）——密码学中有限域与相关多项式选择
• Applied Cryptography（Bruce Schneier）——在流密码/序列生成等背景下提及相关概念